一切关于狄利克雷分布的知识
狄利克雷分布是贝叶斯统计学中贝塔分布的一般化。在贝叶斯统计学中，它常被用作多项式分布的共轭先验，因此可以用来模拟随机概率向量的不确定性。它在贝叶斯分析、文本挖掘、统计遗传学和非参数推断等领域有广泛的应用。本文直观地介绍了狄利克雷分布，并展示了它与多项式分布的联系。此外，还展示了如何在Python中对其进行建模和可视化。
定义
假设连续随机变量X₁，X₂，…Xₖ（k≥2）构成了定义为X的随机向量：
我们还定义了向量α如下：
其中
现在，如果随机向量X具有参数为α的狄利克雷分布，则它具有以下联合概率密度函数：
函数B(α)称为多元贝塔函数，定义为
其中Γ(x)是伽玛函数。如果随机向量X具有参数为α的狄利克雷分布，表示为X ~ Dir(α)。多元贝塔函数被包含在联合概率密度函数中以使其归一化。联合概率密度函数在其定义域上应该积分为1：
因此，我们有：
根据方程1，随机变量X₁，X₂，…Xₖ所取的值应满足以下条件以满足fₓ(x)>0：
这些条件定义了狄利克雷分布的支撑集。支撑集是X和其分布的一组所有x（X可以取的值）的集合，其中fₓ(x)>0。如果X有k个元素，则具有狄利克雷分布的X的支撑集是一个k-1维的单纯形。单纯形是由方程3的约束条件创建的有界线性流形。单纯形是将三角形的概念推广到更高维度的一般化。因此，k-1维单纯形是…