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使用物理信息的DeepONet解决反问题：带有代码实现的实用指南

Published July 21, 2023 by 四海吧

具有参数估计和输入函数校准的两个案例研究

Photo by 愚木混株 cdd20 on Unsplash — 照片由愚木混株cdd20在Unsplash上提供

在我的上一篇博客中，我们深入探讨了物理信息DeepONet（PI-DeepONet）的概念，并探讨了为什么它特别适用于运算器学习，即从输入函数到输出函数的映射学习。我们还将理论转化为代码，并实现了一个能够准确求解常微分方程（ODE）的PI-DeepONet，即使在看不见的输入强制曲线下也能准确求解。

Figure 1. Operators transform one function into another, which is a concept frequently encountered in real-world dynamical systems. Operator learning essentially involves training a neural network model to approximate this underlying operator. A promising method to achieve that is DeepONet. (Image by author) — 图1. 运算器将一个函数转化为另一个函数，这是在现实世界动态系统中经常遇到的概念。运算器学习本质上涉及训练神经网络模型来逼近这个底层运算器。一种有前景的实现方法是DeepONet。（图片由作者提供）

使用PI-DeepONet解决这些“正向”问题的能力无疑是有价值的。但是，PI-DeepONet能做的事情是否仅限于此？当然不是！

在计算科学和工程中，我们经常遇到的另一类重要问题是所谓的“逆向问题”。本质上，这类问题将信息流从输出反向到输入：输入是未知的，而输出是可观测的，任务是根据观测到的输出估计未知的输入。

Figure 2. In forward problems, the objective is to predict the outputs given the known inputs via the operator. In inverse problems, the process is reversed: known outputs are used to estimate the original, unknown inputs, often with only partial knowledge of the underlying operator. Both forward and inverse problems are commonly encountered in computational science and engineering. (Image by author) — 图2. 在正向问题中，目标是通过运算器预测已知输入的输出。在逆向问题中，过程被颠倒：已知输出用于估计原始的未知输入，通常只有对底层运算器的部分知识。正向和逆向问题在计算科学和工程中经常遇到。（图片由作者提供）

正如你可能猜到的那样，PI-DeepONet也可以是解决这些类型问题的超级有用工具。在本博客中，我们将密切关注如何实现这一点。更具体地说，我们将讨论两个案例研究：一个是参数估计，另一个是输入函数校准。

本博客意在自成一体，只对物理信息（PI-）学习、DeepONet以及我们的主要关注点PI-DeepONet进行简要讨论。如需更全面地了解这些主题，请随时查看我的上一篇博客。

有了这个理解，让我们开始吧！

目录

· 1. PI-DeepONet：回顾· 2. 问题陈述· 3. 问题1：参数估计 ∘ 3.1 工作原理 ∘ 3.2 实现一个…

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