著名正态分布的轻微修改
背景
正态分布是一个家喻户晓的名词，尤其在数据科学和机器学习领域。但是，你听说过对数正态分布吗？它在从生物学到金融等各个行业都有应用，因此对于数据科学家来说，这是一个非常有用的概念。在本文中，我们将深入探讨这种分布的理论和应用。
定义
对数正态分布相对容易理解。如果一个随机变量X的对数服从正态分布，则它属于对数正态分布：
下面的图形可视化了这个概念：
请注意，将对数应用于左侧图形中的随机变量会导致一个正态分布，即右侧图形。
理论
如果Z是一个标准正态变量，它的均值µ为0，标准差σ为1。对于一个随机变量X，其对数正态分布为：
然后，对方程两边取对数：
方程的右边是一个正态分布，因为Z是正态分布的。因此，我们可以看出X的对数是一个正态分布。
对数正态分布的概率密度函数（PDF）与正态分布非常相似，但随机变量x经过对数变换：
请参阅此处PDF的推导。
应用
对数正态分布常用于建模与大小无关的增长率。这在自然现象中很常见，例如：
- 测量生物体的大小
- 降雨量
- 石油储备量