一个多世纪以前，斯里尼瓦萨·拉马努金（Srinivasa Ramanujan）以他对数字中非凡模式的独特洞察力震惊了数学界，这是其他人无法看到的。这位印度的自学数学家将他的洞察力描述为深刻的直觉和灵性，模式经常在他生动的梦境中出现。这些观察捕捉到了抽象的纯数学世界的巨大美感和无限可能性。近年来，我们开始看到人工智能在涉及深度人类直觉的领域取得突破，最近也在一些最困难的科学问题上取得了一些突破，然而直到现在，最新的人工智能技术在纯数学研究中没有取得重大的成果。
作为DeepMind解决智能的使命的一部分，我们探索了机器学习（ML）识别数学结构和模式的潜力，并帮助指导数学家们发现他们可能永远无法发现的新发现 – 首次证明了人工智能可以在纯数学的前沿发挥作用。
我们今天发表在《自然》期刊上的研究论文详细介绍了我们与顶级数学家合作，将人工智能应用于发现纯数学的两个领域：拓扑学和表示论。与悉尼大学的Geordie Williamson教授合作，我们发现了一个有关排列的猜想的新公式，该猜想已经悬而未决数十年。与牛津大学的Marc Lackenby教授和András Juhász教授合作，我们通过研究结构节点的方式发现了不同数学领域之间的意外联系。这些是使用机器学习进行的首次重大数学发现，根据审查这项工作的顶级数学家的说法。我们还将在arXiv上发布完整的伴随论文，每个结果都将提交给适当的数学期刊（排列论文；节点论文）。通过这些示例，我们提出了这些工具如何被其他数学家用于实现新结果的模型。
我们调查的两个基本对象是结和排列。
多年来，计算机已经被数学家用来生成数据，以帮助寻找模式。这种被称为实验数学的研究已经得出了一些众所周知的猜想，比如伯奇和斯温顿-戴尔猜想 – 这是六个千年大奖问题之一，也是最知名的数学未解问题之一（每个问题都附有100万美元的奖金）。虽然这种方法取得了成功，并且相当常见，但从这些数据中识别和发现模式仍然主要依赖于数学家。
在纯数学领域中，发现模式变得更加重要，因为现在可以生成的数据比任何数学家在一生中能够研究的数据还要多。一些感兴趣的对象 – 比如那些具有数千个维度的对象 – 也可能过于深奥，无法直接进行推理。考虑到这些限制，我们相信人工智能能够以全新的方式增强数学家的洞察力。
这就像是伽利略拿起望远镜，能够深入数据的宇宙，看到以前从未被发现的事物。 Marcus Du Sautoy，牛津大学科学公众理解及数学教授
我们的研究结果表明，机器学习可以 complement 数学研究，通过使用监督学习检测假设的模式的存在，从而引导对问题的直觉，并通过来自机器学习的归因技术洞察这些模式：
与Williamson教授合作，我们使用人工智能来帮助发现表示论中一个长期悬而未决的猜想的新方法。持续近40年的组合不变性猜想表明，某种关系应该存在于某些有向图和多项式之间。使用机器学习技术，我们能够增强对这种关系的信心，并确定它可能与被称为破碎二面角区间和极端反射的结构有关。凭借这个知识，Williamson教授能够推测出一个令人惊讶而美丽的算法，可以解决组合不变性猜想。我们已经在300万个以上的示例中计算验证了这个新算法。
在与Lackenby教授和Juhász教授的合作中，我们探索了拓扑学中的基本研究对象之一——结。结不仅告诉我们绳子纠缠的许多方式，还与量子场论和非欧几何有着令人惊讶的联系。代数学、几何学和量子理论都以独特的视角研究这些对象，而一个长期存在的谜团是这些不同分支之间的关系如何：例如，结的几何形状对代数学有何启示？我们训练了一个机器学习模型来发现这样的模式，令人惊讶的是，这揭示出一个特定的代数数量——“特征”——与结的几何形状直接相关，这在现有理论中以前并不为人所知或建议。通过使用机器学习的归因技术，我们引导Lackenby教授发现了一个新的数量，我们称之为“自然斜率”，这暗示了一个重要的结构方面，直到现在都被忽视了。然后，我们能够证明这种关系的确切性质，建立了这些不同数学分支之间的一些最初的联系。
使用学习技术和人工智能系统在数学中发现和发现模式具有巨大的潜力。即使某些类型的模式仍然逃脱现代机器学习的掌握，我们希望我们的《自然》论文能够激发其他研究人员考虑将人工智能作为纯数学中有用的工具的潜力。任何人都可以访问我们的交互式笔记本来复制这些结果。在回顾拉马努金惊人的思维时，乔治·弗雷德里克·詹姆斯·坦普尔写道：“数学的巨大进步不是通过逻辑而是通过创造性的想象力实现的。”与数学家们合作，我们期待看到人工智能如何进一步提升人类直觉美的创造力。