这是一本正在进行中的线性代数书籍《线性代数俯视图》的第二章。目前的目录如下:
- 第一章:基础知识
- 第二章:(当前)映射的度量——行列式
线性代数是处理多维空间的工具。无论你在做什么,一旦你升级到n维度,线性代数就开始发挥作用。
在上一章中,我们描述了抽象的线性映射。在本章中,我们将开始处理矩阵。现在将探索实际考虑因素,如数值稳定性、高效算法等。
一)如何量化线性映射?
我们在上一章中讨论了向量空间的概念(基本上是n维数字的集合——更一般地说是字段的集合)以及在两个向量空间上操作的线性映射,将一个对象从一个空间映射到另一个空间。
这些映射的一个例子是,一个向量空间可以是你所在的地球表面,另一个向量空间可以是你所坐的桌子表面。世界的地图也是这种意义上的映射,因为它们将地球表面上的每个点映射到纸或桌面的一个点,尽管它们不是线性映射,因为它们不保持相对面积(在某些投影中,格陵兰岛的面积看起来比实际大得多)。
一旦我们选择了向量空间的基(空间中n个“独立”向量的集合;一般情况下可能有无限多的选择),所有对该向量空间的线性映射都有唯一的矩阵与之对应。
目前,让我们将注意力限制在将向量从n维空间返回到n维空间的映射上(稍后将进行推广)。与这些线性映射相对应的矩阵是n x n的(参见第一章的第III节)。“量化”这样一个线性映射,表达其对向量的影响可能是有用的…